Pour les études de maths .

Liste 1: Exercices géométrie Barycentre

Exercice 1: Voir la correction de cet exercice
Soient O et A deux points du plan et a un réel donné non nul.
On définit une suite de points A_n de la droite (OA) par : A₀ = A , A₁ = O et par la relation:
" Pour tout n entier naturel A_n+2 est le barycentre du système {(A_n+1;1+a) ; (A_n ; -a)}"
On désigne enfin par x_n l'abcisse du point A_n dans le repère (O;OA)
1) Démontrer que ,pour tout n entier naturel : x_n+1 = ax_n -a.
2) On suppose que a=1.
   Exprimer x_n en fonction de n.
   Quelle est la limite de la suite x_n ?
   Que peut on en déduire pour la suite des points A_n ?
3) On suppose maintenant que a est différent de 1.
    a) Déterminer un réel b tel que la suite U_n de terme général U_n= x_n + b soit une suite
        géométrique .Préciser sa raison.
    b)Exprimer U_n puis x_n en fonction de n .Quelle est la limite de la suite x_n.    c) Que peut on en déduire pour la suite des points A_n dans chacun des cas suivants :
        (i) a=1/2     (ii) a= -1    (iii) a= 2

Exercice 2:
ABC est un triangle et G son centre de gravité.
On désigne par D le barycentre du système {(A;1) ; (B;2) ; (C;3)}

                       E le barycentre du système {(A;2) ; (B;3) ; (C;1)}

                       F le barycentre du système {(A;3) ; (B;1) ; (C;2)}

On note enfin A' , B' , C' , D' , E' , et F' les milieux respectifs des segments [BC] , [AC] , [AB] , [EF], [DF] et [DE].

1)En donnant toutes les explications nécessaires ,faire une figure .
2)Montrer que G est le centre de gravité du triangle DEF.
3)Montrer que chaque médiane de l'un des triangles ABC ouDEF est parrallèle à un coté de l'autre.

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Géométrie plane et nombres complexes

Dans tout le chapitre, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u, v ). I Arguments et angles orientés

1 Interprétation géométrique d'un argument

Proposition 1 Soit A, B, C et D quatre points d'affixes respectives z_A, z_B, z_C et z_D tels que A¹ B et C¹ D. Alors

arg(z_B-z_A)= ............ et arg

z_A-z_B

z_C-z_D

= ............

2 Configurations classiques

Soit A, B et C trois points 2 à 2 distincts, d'affixes respectives z_A, z_B, z_C. Alors

A, B et C sont alignés ssi (z_A-z_B) / (z_A-z_C)........
le triangle ABC est rectangle en A ssi (z_A-z_B) / (z_A-z_C ) est ............
le triangle ABC est isocèle en A ssi ............

II Barycentre de trois points (et plus)

Un point pondéré est un couple (A,a) où A est un point du plan et a un nombre réel.

1 Définition du barycentre

Proposition 1 Soit (A,a) , (B,b) et (C,c) trois points pondérés tels que a+b+c¹ 0.
Alors il existe un unique point G tel que

a GA+b GB+c GC=0

Définition 1 On dit que G est le barycentre du système de points pondérés

{

(A,a) , (B,b) , (C,c)

}

Définition 2 On appelle isobarycentre des points A, B, C, D le barycentre de ...............

Remarque : l'isobarycentre de trois points non alignés A, B et C est ...............

2 Affixe du barycentre

Réduction d'une somme vectorielle :

Théorème 1 Soit (A,a) , (B,b) , (C,c) trois points pondérés tels que a+b+c¹ 0.
Soit G le barycentre de ces points (A,a) , (B,b) , (C,c).
On pose m=a+b+c.
Alors pour tout point M du plan,

a MA+b MB+c MC=m MG

Proposition 1

Soit (A,a) , (B,b) , (C,c) trois points pondérés d'affixes respectives z_A, z_B, z_C tels que a+b+c¹ 0. Alors leur barycentre G a pour affixe :

z_G= (a z_A+b z_B+c z_C)/ (a+b+c)

Conséquences :
- le milieu I du segment [AB] a pour affixe : z_I=
- le centre de gravité G du triangle ABC a pour affixe : z_G=

III Écriture complexe des transformations du plan

1 Translation

Définition 3 On appelle translation de vecteur w la transformation qui, à tout point M associe le point M' tel que MM' = ......

Théorème 1

Soit t la translation de vecteur w d'affixe b.
Le point M(z) a pour image M'(z') par la translation t si, et seulement si,

z' = .........

Définition 4 On dit dans ce cas, que z'=z+b est l'écriture complexe de la translation t de vecteur w d'affixe b.

2 Homothétie

Définition 5 Soit W un point et k un nombre réel non nul.
On appelle homothétie de centre W et de rapport k, la transformation qui, à tout point M associe le point M' tel que W M' = ......

Théorème 1 Soit h l'homothétie de centre W d'affixe w, et de rapport k (kÎR^*).
Le point M(z) a pour image M'(z') par l'homothétie h si, et seulement si,

z'-w = .........

3 Rotation

Définition 6 Soit W un point et q un nombre réel.
On appelle rotation de centre W et d'angle q, la transformation qui, à tout point M associe le point M' tel que

Si M=W alors M'= ...... sinon

W M'	=
( W M , W M' )	=

Théorème 1 Soit W un point d'affixe w, q un nombre réel et r la rotation de centre W et d'angle q.
Le point M(z) a pour image M'(z') par la rotation r si, et seulement si,

z'-w = .........

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Mathématiques

La géométrie analytique

Mathématiques | 11 pages | 21-08-2006 | Format : Document Microsoft Word

| Note : Non noté

PRIX : 1.80€ |

Résumé

Cours de mathématiques de géométrie dans le plan et dans l'espace, avec de nombreuses figures en perspectives pour une meilleure compréhension. Sont abordées : la géométrie synthétique, celle des transformations et la géométrie analytique. Document de 11 pages au format Word.

Sommaire:

I) Géométrie synthétique

A. Orthogonalité
B. Distances
C. Plan médiateur

II) Géométrie des transformations

III) Géométrie analytique

A. Equations vectorielles et paramétriques des plans et des droites
B. Problèmes d'intersection
C. Equations paraboliques
D. Problèmes d'orthogonalités
E. Distances

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