Tu sais ce qu'est une droite. C'est un trait d'une longueur infinie. Tu connais bien les droites du plan (celles que l'on peut tracer à la règle sur une feuille), sache qu'il y a aussi des droites dans l'espace. Par exemple, il existe une droite qui parcourt le haut de l'écran de ton ordinateur, ou encore il existe une droite qui passe par le bout de ton auriculaire droit et par le centre du soleil. Ce sont des droites de l'espace.
Droites parallèles :
Dans le plan, deux droites qui ne sont pas parallèles sont sécantes (se croisent). Ce n'est pas le cas dans l'espace. Prenons l'exemple de la droite (à peu près verticale) qui monte le long du coté droit de l'écran de l'ordinateur, et de la droite (horizontale) qui parcourt l'arête gauche du bureau sur lequel est posé l'ordi. Ces deux droites ne sont pas sécantes, elles ne sont pas non plus parallèles.
Dans ce cube, les droites bleues sont parallèles, les droites jaunes ne sont ni parallèles ni sécantes.
Droites orthogonales :
Deux droites sont dites othogonales si il existe une parallèle à la première qui soit perpendiculaire à la deuxième.
Dans ce cube, les deux droites rouges sont orthogonales car la droite rouge de devant et la droite verte sont perpendiculaires.
Intersections dans l'espace :
Il est facile de se représenter que si une droite n'est pas parallèle à un plan, alors l'intersection de la droite et du plan est un point. De même si deux plans ne sont pas parallèles, alors leur intersection est une droite. Par ailleurs le théorème du toit nous dit que si deux plans non parallèles passent par deux droites parallèles, alors les deux droites parallèles sont parallèles à la droite d'intersection des deux plans (c'est le dessin d'un toit de maison).
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Fiche de cours : Géométrie dans l'espace
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Dans l'espace, pour une droite, c'est comme sur le plan : 2 points suffisent à la déterminer.
On peut avoir 2 droites sur un même plan: elles sont coplanaires.
On a alors deux cas : elles sont soit sécantes soit parallèles. Sinon elles n'appartiennent pas à un même plan et alors elles n'ont pas de point d'intersection, car il n'existe aucun point commun à ces deux droites.
Pour montrer que deux droites sont coplanaires, on montre qu'elles sont soit sécantes, soit parallèles : on utilise pour cela les vecteurs, les barycentres ou les coordonnées si l'on est placé dans un repère.
Il y a trois dimensions dans l'espace :
une droite n'utilise qu'une dimension
on définit les objets à deux dimensions, les plans, en général avec 2 droites : il nous faut en fait 3 points différents qui n'appartiennet pas à une même droite ( sinon on ne définit qu'une droite ). Il nous faut donc 2 droites sécantes ou 2 droites parallèles non confondues: cela nous permet d'avoir 3 points non alignés. Il nous faut donc une droite et un point qui n'est pas dessus.
En fait le plan sera celui passant par ce point et cette droite.
2 droites peuvent être parallèles dans l'espace : cela signifie qu'elles n'ont aucun point d'intersection. (comme sur le dessin ci-dessus). On retrouve les mêmes théorèmes que dans le plan :
si on a deux droites parallèles, toute parallèles à l'une est parallèle à l'autre;
par un point, il ne passe qu'une seule droite parallèle à une droite fixé (Axiome d' Euclide ).
Pour montrer que deux droites sont parallèles, on peut se ramener aux plans :elles sont parallèles parallèles si elles sont coplanaires sans point d'intersection. On peut noter que si on a deux plans parallèles et un plan qui leur est orthogonal, les 2 droites d'intersection sont parallèles.
Une droite D et un plan P peuvent être
sécants en un point
parallèles : Il faut alors montrer que cette droite est parallèle à une des droites du plan. C'est dans le cas où ils n'ont pas de point d'intersection et donc que la droite appartient à un plan parallèle au plan initial. Il y a aussi le cas où la droite est inclus au plan avec donc une infinité de points d'intersection. On distingue de nombreuses situations de parallélisme dans l'espace et il faut faire un dessin pour les comprendre.
si D// P, toute droite //D est parallèle à P. MAIS si D//P et //P alors on n'a pas forcément D//D.
si D//P, mais qu'il existe un point A sur D et sur P, c'est que D P( est inclus dans P) MAIS si DP et //P, on n'a pas forcément D//.
si D // P et D// P'(plan distinct de P), alors on n'a pas forcément P//P'. Dans le cas où P et P' sont sécants, on peut dire que D est parallèle à leur droite d'intersection.
si D//P alors tout plan contenant D et sécant avec P coupe P en une droite parallèle à D
2 plans sont parallèles s' ils n'ont aucun point d'intersection ou dans le cas particulier où ils sont confondus: ils ont alors une infinité de points d'intersection. Sinon les plans sont sécants et leurs points d'intersection forment leur droite d'intersection.
Pour montrer que deux plans sont parallèles, on peut se ramener aux droites: il faut trouver deux droites sécantes sur chacun des plans et montrer qu'elles sont parallèles deux à deux. on montre en fait que les 2 droites définissant le plan P sont parallèles au plan P'.
PROPRIETES:
soit P un plan et A un point: il n'existe qu'un plan unique parallèle à P et passant par A.
si deux plans sont parallèles, tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre; tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre et les droites d'intersection sont de plus parallèles. MAIS si P//P' alors DP et D'P' ne sont pas forcément parallèles.
Si deux plans sont parallèles, toute droite sécante à l'un est sécante à l'autre.
Un point M se projette sur le plan P en un point N selon la droite (). Pour cela, on dessine la parallèle à () passant par M, et N est le point d'intersection de cette droite avec le plan P.
Pour parler de projection, il faut que D et P ne soient pas parallèles. On parle alors de la projection p sur le plan P selon la direction (). N est alors le projeté de M sur P parallèlement à (D).
Les points invariants sont ceux qui sont déjà situés sur le plan P, car ils se projettent en eux-mêmes.
PROPRIETES:
Comme une projection normale, p conserve le milieu.
D'autre part, si on projette une droite D sur un plan, cela revient à projeter chaque point de la droite. Le projeté peut être une droite mais aussi un simple point si D//, l'axe de projection.
Dans le cas où une droite se projette en droite, cela prouve que l'alignement est conservé, mais aussi le parallélisme: deux droites parallèles ( mais sécantes à ) se projettent en deux droites parallèles.
Comme dans le plan, on définit les vecteurs par leur direction, leur sens et leur norme. Ils conservent les mêmes propriétés car avant, c'était comme si on les considérait dans un seul plan de l'espace.
On a aussi des vecteurs orthogonaux : voir le 2ème chapitre de géométrie dans l'espace. On va enfin parler de vecteurs coplanaires si les points qui les définissent sont coplanaires:
Mais en général le problème ne se réduit pas à un plan ; ainsi, la somme de vecteurs n'est pas un problème plan. On peut donc utiliser la relation de Chasles et décomposer un vecteur selon plusieurs composantes sur des plans différents.
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Impression facile 
//D est parallèle à P. MAIS si D//P et 
P( est inclus dans P) MAIS si D
